Hladík 27.1.

1. Zformulujte větu o ortogonální projekci do podprostoru ( nad obecným skalárním součinem).

2. Buď X = {x náleží R3 | x1+3x2-x3 = 0} a f: R3 -> R3 lineární zobrazení definované: f((-3,4,-2)) = (1,-2,1), f(4,-5,3) = (2,3,0), f(2,-2,1)=(1,0,2). V obraze množiny X zobrazení F najděte dva na sebe kolmé nenulové vektory.

3. Nad tělesem Z5 uvažujeme soustavy rovnic
   4x1+3x2+x3+2x4=x1+2x3+3x4=0
   a
   4x1+x2+4x3+2x4=x2-x3=0 .
   Rozhodněte, zda množiny řešení obou soustav jsou stejné či nikoliv.

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z trvrezní jsou pravdivá.
   a) Buď A horní trojúhelníková čtvercová matice. Pak AT A je horní trojúhelníková matice.
   b) A,B náleží R mxn, b Rm, Potom každé řešení soustavy Ax=b je také řešením soustavy BAx = Bb pouze pokud B je regulární matice.
   c) Existují vektory u,v v C5 t.ž. ||u|| =2, ||v|| = 2 a <u,v>= 4+3i.
   d) Exsituje ortogonální matice obsahujíví řádky (1/2,1/2,-1/2,1/2) a (1/2,-1/2,1/2,1/2)

Jinak osobně i to připadalo celkem těžký, dopadly podle toho i výsledky... Z písemný části měli všichni za 3 nebo za 4, nic lepšího nebylo... a měli jsme možnost si to o stupeň vylepšit ústně.

Jo a na trojku bylo potřeba 10 bodů z 22, přičemž na první úlohu bylo 8, za druhou a třetí 6 a za čtvrtou po 2 za každou část.

moje varianta:

1. zformulujte a dokažte větu o projekci do maticového podprostoru

2. najděte dva na sebe kolmé nenulové vektory z $R^4$ takové, že jejich obrazy jsou nějaký násobky funkce sin(x) při lineárním zobrazení $f:R^4\to F$ definovaném:
   f((2,1,2,1)) = sinx + 2cos(x) - 3exp(x),
   f((0,3,1,0)) = 2cos(x) - exp(x),
   f((-1,0,-1,2)) = -sin(x) + exp(x)
   f((-4,6,-2,0)) = -3sin(x) + 3cos(x) + 2exp(x)

3. Uvažujme dva podprostory prostoru $Z_7^4$ definované
   U = [(4,4,4,2), (2,5,1,1), (2,6,3,1)]
   V = [(1,2,3,4), (2,0,5,1)]. Rozhodněte, zda U=V

4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:
   a. Buď A horní tojúhelníková čtvercová matice, tj. $a_{ij}=0$ pro i>j. Pak $A^2$ je zase horní trojúhelníková matice.
   b. Buď $A$ elementem $R^{m\times n}$, b elementem $R^m$. Množina řešení soustavy Ax = b je rovna množině řešení soustavy BAx = Bb pro každou čtvercovou matici B elementem $R^{m\times n}$.
   c. Existují vektory u, v elementy $C^5$ takové, že ||u|| = 1, ||v|| = 4 a <u,v> = 3+4i.
   d. Existuje ortogonální matice obsahující sloupce $(1/3,1/3,-1/3,1{)}^T$ a (0, 1/3, 1/3, 1/3).

Hodnocení i pocity stejný jako kolega, jen bych dodal že ústní zkoušení bylo dost mírný - myslim že si známku vylepšili všichni kdo zůstali.

pavel mach wrote:ústní zkoušení bylo dost mírný

A co tam přibližně bylo? Věty, důkazy, definice, příklady?